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    1．已知$\overrightarrow{a}$=（x+1，y），$\overrightarrow{b}$=（x-1，y），其中x，y∈R，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，动点P（x，y）的轨迹为L．
    （Ⅰ）求动点P（x，y）的轨迹方程；
    （Ⅱ）已知点F1（-1，0），过点F2（1，0）的直线l与轨迹L相交于A，B两点，问△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

    分析 （Ⅰ）直接由已知结合|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，求得动点P（x，y）的轨迹方程；
    （Ⅱ）把△ABF1的内切圆的面积最大转化为△ABF1的面积最大，设出直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，转化为关于y的一元二次方程，由函数的单调性求得使△ABF1的面积最大的m值，进一步求得内切圆面积的最大值．

    解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（x+1，y），$\overrightarrow{b}$=（x-1，y），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，
    得：$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=4$．
    整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
    （Ⅱ）若△ABF1的内切圆的面积最大，即内切圆的半径最大，
    ∵△ABF1的周长为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的长轴长的2倍为定值，
    则△ABF1的面积最大．
    设直线l的方程为x=ty+1．
    联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得：（3m2+4）y2+6my-9=0．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），
    则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
    ∴$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4×（-\frac{9}{3{m}^{2}+4}）}$
    =$\sqrt{\frac{36{m}^{2}+36（3{m}^{2}+4）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{144（{m}^{2}+1）}{[3（{m}^{2}+1）+1]^{2}}}$=$\sqrt{\frac{144}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$．
    当m2+1=1，即m=0时，|y1-y2|max=3．
    此时△ABF1的面积最大，最大值为$\frac{1}{2}×2×3=3$．
    设△ABF1的内切圆的半径为r，则$\frac{1}{2}×4×2r=3$，r=$\frac{3}{4}$，
    内切圆的面积为$\frac{9}{16}π$，此时直线l的方程为x=1．

    点评 本题考查由平面向量求曲线的轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，是中高档题．

    练习册系列答案
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