Question

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n≥1，n∈N^*），且a₁=9，其前n项之和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜

1

40

成立的n的最小值是（　　）

• A、7
• B、6
• C、5
• D、4

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据条件利用构造法证明数列{a_n-1}是等比数列，求出数列的通项公式和前n项和，解不等式即可．

解答： 解：由3a_n+1+a_n=4（n≥1，n∈N^*），得3（a_n+1-1）=-（a_n-1），
则

an+1-1

an-1

=-

1

3

，
则数列{a_n-1}是公比q=-

1

3

，首项为a₁-1=8，的等比数列，
则a_n-1=8（-

1

3

）^n-1，
即a_n=8（-

1

3

）^n-1+1，
则S_n=

8[1-( 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

+n=6-6•（-

1

3

）ⁿ+n，
则|S_n-n-6|=|-6•（-

1

3

）ⁿ|=6•(

1

3

)ⁿ＜

1

40

，
即（

1

3

）ⁿ＜

1

240

，
∵（

1

3

）⁵=

1

243

＜

1

240

，
∴n≥5，
故n的最小值是5，
故选：C

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据条件利用构造法构造对比数列是解决本题的关键．