Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，且抛物线与2x+y-4=0交于A、B两点，求|FA|+|FB|．

Answer 1

解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴其准线方程为x=-1，
设A′，B′分别为A，B在其准线上的射影，
由抛物线的定义得：|FA|=|AA′|，|FB|=|BB′|，
∴|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AA′|+|BB′|=x₁+x₂+2．
由得：x²-5x+4=0，
∵x₁，x₂是方程x²-5x+4=0的两根，
∴x₁+x₂=5．
∴|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=x₁+x₂+2=7．
分析：利用抛物线的定义，将|FA|+|FB|转化为|AA′|+|BB′|（A′，B′分别为A，B在其准线上的射影），再将抛物线方程y²=4x与直线方程2x+y-4=0联立，利用韦达定理即可求得答案．
点评：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与方程思想，考查运算能力，属于中档题．