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已知F1、F2为椭圆的焦点,P为椭圆上的任意一点,椭圆的离心率为.以P为圆心PF2长为半径作圆P,当圆P与x轴相切时,截y轴所得弦长为
(1)求圆P方程和椭圆方程;
(2)求证:无论点P在椭圆上如何运动,一定存在一个定圆与圆P相切,试求出这个定圆方程.

【答案】分析:(1)根据离心率求得a和c的关系,进而求得b和c的关系,设出椭圆的标准方程,根据圆P与x轴相切时,PF2⊥x轴,求得P的坐标和圆的半径,进而根据弦长公式求得c,则椭圆的方程可得.
(2)以F1为圆心,作圆M,使得圆P内切于圆M,公切点设为Q,则可推断出点F1、P、Q在一直线上,进而可知F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2,求得a,进而可推断出存在圆M:(x+2)2+y2=36满足题设要求.
解答:解:(1)∵,∴a=3c,b=
椭圆方程设为
当圆P与x轴相切时,PF2⊥x轴,故求得P(c,),圆半径r=
得c=2,
∴椭圆方程为
此时圆P方程为
(2)以F1为圆心,作圆M,使得圆P内切于圆M,公切点设为Q,
则点F1、P、Q在一直线上,
从而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=12,
∴存在圆M:(x+2)2+y2=144满足题设要求.
点评:本题主要考查了椭圆的应用,椭圆与圆的位置关系等.考查了分析问题和解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=
3
2
,则椭圆的方程为(  )
A、
x2
4
+
y2
3
=1
B、
x2
16
+
y2
3
=1
C、
x2
16
+
y2
4
=1
D、
x2
16
+
y2
12
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2为椭圆E的两个左右焦点,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆离心率e满足|PF1|=e|PF2|,则e的值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1、F2为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的两个焦点,点P是椭圆上的一个动点,则|PF1|•|PF2|的最小值是
9
9

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1、F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点,B为椭圆短轴的一个端点,
BF1
BF2
1
2
F1F2
2
则椭圆的离心率的取值范围是
(0,
1
2
]
(0,
1
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•荆州模拟)已知F1、F2为椭圆C:
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点,P为椭圆上的动点,则△F1PF2面积的最大值为2,则椭圆的离心率e为(  )

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