Question

给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，则函数f（x）=x²-a^x-3只有一个零点；
③若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4；
④对于任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中正确命题的序号是

①③④

．（填所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：根据全称命题的否定方法，求出原命题的否定，可得①正确；
根据0＜a＜1，则函数y=x²-3与y=a^x的图象有两个交点，可判断函数f（x）有两个零点，进而判断②错误；
根据lga+lgb=lg（a+b），根据对数的运算性质及基本不等式可得a+b≥4，进而判断③正确；
根据f（-x）=f（x）可得函数为偶函数，进而由当x＞0时，f′（x）＞0，分析出函数的单调性，进而可判断④正确；

解答：解：命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正确；
若0＜a＜1，则函数y=x²-3与y=a^x的图象有两个交点，故函数f（x）=x²-a^x-3有两个零点，故②错误；
若lga+lgb=lg（a+b），则a＞0，b＞0，且a+b=a•b，则a+b≥4，故a+b的最小值为4，即③正确；
对于任意实数x，有f（-x）=f（x），则函数为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，故函数在（0，+∞）上为增函数，则函数在（-∞，0）上为减函数，故当x＜0时，f′（x）＜0，故④正确；
故答案为：①③④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了全称命题的否定，函数的零点，对数的运算性质，函数的奇偶性和单调性，难度不大，为基础题型．