Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+a|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2﹣1有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时， ． 当x＞2时，可得2x＞6，解得x＞3．
当﹣2≤x≤2时，因为4＞6不成立，故此时无解；
当x＜﹣2时，由﹣2x＞6得，x＜﹣3，故此时x＜﹣3．
综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）=|x﹣a|+|x+a|≥|x﹣a﹣x﹣a|=|2a|，
要使关于x的不等式f（x）＜a2﹣1有解，只需|2a|＜a2﹣1即可．
当a≥0时，2a＜a2﹣1，解得 ，或 （舍去）；
当a＜0时，﹣2a＜a2﹣1，解得 （舍去），或 ；
所以，a的取值范围为
【解析】（I）讨论x的范围，去绝对值符号解出；（II）利用绝对值不等式的性质求出fmin（x），令fmin（x）＜a2﹣1解出．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．