Question

9．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=$\frac{π}{3}$，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ） 求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥面ADEF，由此能证明EF∥BC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形
∴AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF，
∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，
∴EF∥BC．    …（6分）
解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB
又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．
又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：
B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），
F（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
向量$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），向量$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），向量$\overrightarrow{BF}=（0，-1，\sqrt{3}）$，
设面BCFE的法向量为：$\overrightarrow{n_0}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x_0}-{y_0}=0\\-{y_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\end{array}\right.$，
令${y}_{0}=\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{{n}_{0}}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
面AOF的一个法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{n}_{0}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{n}_{0}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线线平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．