Question

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面PAF；
（Ⅱ）在棱PA上找一点G，使EG∥平面PED，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明AF⊥FD，PA⊥FD，利用线面垂直的判定可得结论；
（Ⅱ）点G满足AG=

1

4

PA，利用线线平行可得线面平行，从而可得面面平行，进而可得线面平行．

解答：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，
因为AD=2AB，点F是BC的中点，所以∠AFB=∠DFC=45°．
所以∠AFD=90°，即AF⊥FD． …（4分）
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥FD．
因为AF∩PA=A，所以FD⊥平面PAF．  …（7分）
（Ⅱ）解：过E作EH∥FD交AD于H，则EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再过H作HG∥PD交PA于G，所以GH∥平面PFD，且AG=

1

4

PA．
因为EH∩GH=H，所以平面EHG∥平面PFD．      …（12分）
因为EG?平面EHG，所以EG∥平面PFD．
从而点G满足AG=

1

4

PA．       …（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．