Question

已知向量

m

=( 2cos2x ， 

3

 )，

n

=( 1 ， sin2x )，函数f(x)=

m

•

n

（1）求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C），c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算，结合辅助角公式化简函数，从而可求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域；
（2）先求得C，再利用余弦定理，结合ab=2

3

，且a＞b，即可求得a，b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=( 2cos2x ， 

3

 )，

n

=( 1 ， sin2x )，
∴函数f(x)=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；                           …（4分）
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
∴函数f（x）的值域为[0，3]…（7分）
（2）∵f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3，∴sin（2C+

π

6

）=1 
∵C是三角形内角，∴2C+

π

6

=

π

2

，即：C=

π

6

            …（9分）
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

即：a²+b²=7．              …（10分）
∵ab=2

3

，且a＞b，
∴联立解得a=2，b=

3

…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．