Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），且离心率e=．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用右焦点为F（，0），且离心率e=，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用M，O，P三点共线，求出斜率，求出相应距离，利用配方法，即可得出结论．
解答：解：（I）由题意，c=
由e=，可得a=2
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的标准方程为=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性，可得点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件；
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴M（，）
∵M，O，P三点共线，
∴k_OM=k_OP
∴2m=-4km
∵m≠0，∴
此时方程为x²-2mx+2m²-2=0
由△＞0，可得，且x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=10-5m²
∵d=
∴=-2（m+1）²+12
∵
∴m=-1时，的最大值为12．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．