Question

函数f（x）=x-

λ

x

（λ为常数），若x=1是f（x）的一个零点．
（1）求λ的值；
（2）若g（x）=x-f（x），用单调性定义证明函数g（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若函数h（x）=

log2x (x＞0) λ•3x (x≤0)

，求h[h（

1

4

）]的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据x=1是f（x）的一个零点，f（1）=0，求出λ的值；
（2）求出g（x）的解析式，用单调性的定义证明g（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）λ=1时，求出函数h（x）的解析式，再计算h[h（

1

4

）]的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x-

λ

x

（λ为常数），
且x=1是f（x）的一个零点，
∴f（1）=1-λ=0，
解得λ=1；…（4分）
（2）∵g（x）=x-f（x）=x-（x-

1

x

）=

1

x

，…（5分）
任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
又∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数；…（8分）
（3）∵λ=1时，函数h（x）=

log2x，x＞0 3x，x≤0

，…（9分）
∴h（

1

4

）=log₂

1

4

=-2；…（11分）
h[h（

1

4

）]=h[-2]=3^-2=

1

9

．…（13分）

点评：不同考查了函数的零点以及利用定义证明函数的单调性，求分段函数的函数值问题，是综合性题目．