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    已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-（m+1）x-m-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且OB=3OA．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）设抛物线的顶点为D，过点A的直线y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    与抛物线交于点E．问：在抛物线的对称轴上是否存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）点G（x，1）在抛物线上，求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标．
    （1）由题设条件，设A（-x0，0），B（3x0，0）（x0＞0），
    则x0=
    m+1
    2
    ，
    ∴由A（-x0，0），知(-
    m+1
    2
    )    2    -(m+1)×(-
    m+1
    2
    )-m-2=0    ，
    即3m2+2m-5=0，
    解得m=1，或m=-
    5
    3
    （舍）．
    ∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3．
    （2）在抛物线的对称轴上存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似．∵这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3，
    ∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
    对称轴为直线x=1．
    ∵过点A的直线y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    与抛物线交于点E，
    ∴
    y=x2-2x-3
    y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    ，
    解得
    x=1
    y=0
    或
    x=
    7
    2
    y=
    9
    4
    ，
    ∴点E的坐标为（
    7
    2
    ，
    9
    4
    ）．
    过点E作EH⊥x轴于H
    在Rt△AEH中，可求AE=
    9
    4
    		5
    ．
    若对称轴与直线y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    交于点P，
    ∴P点坐标为（1，1）
    ∵对称轴与x轴垂直，交点为点M，
    ∴在Rt△BMD中，可求BD=2
    		5
    ，
    在Rt△APM中，tan∠PAM=
    PM
    AM
    =
    1
    2
    ，
    在Rt△BMD中，tan∠MDB=
    BM
    DM
    =
    1
    2
    ，
    ∴∠PAM=∠MDB．
    由题意，要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要
    AB
    AF
    =
    DB
    DE1
    或
    AB
    AE
    =
    DF2
    DB
    ．

    ∴
    4
    9
    		5
    4
    =
    2
    		5
    DF1
    ，
    解得DF1=
    45
    8
    ，
    ∴点F1 的坐标为（1，
    13
    8
    ）．
    或
    4
    9
    		5
    4
    =
    DF2
    2
    		5
    ，
    解得 DF2=
    32
    9
    ，
    ∴点F2 的坐标为（1，-
    4
    9
    ）．
    综上，符合题意的F点坐标为F(1，-
    4
    9
    )或F(1，
    13
    8
    )    ．
    （3）∵点G（x，1）在抛物线上
    ∴点G的坐标为（1±
    		5
    ，1），
    又∵A、B、G在同一圆上
    ∴圆心一定在抛物线的对称轴上
    ∵PA=PA=PG=
    		5
    ，
    ∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心
    ∴点P的坐标为（1，1）．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
    d2
    d1
    =
    		2
    2
    ．
    （1）求动点P所在曲线C的方程；
    （2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
    （3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
    进一步思考问题：若上述问题中直线l1：x=-
    a2
    c
    、点F（-c，0）、曲线C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0，c=
    		a2-b2
    )    ，则使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断
     
     （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
    d2
    d1
    =
    		2
    2
    ．
    （1）求动点P所在曲线C的方程；
    （2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
    （3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使
    S
    2
    2
    =λS1S3    成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
    设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1在M-1的作用下的新曲线的方程．
    21-2．（选修4-4：参数方程）
    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
    π
    2
    ），若直线l过点P，且倾斜角为 
    π
    3
    ，圆C以M为圆心、4为半径．
    （1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
    （2）试判定直线l和圆C的位置关系．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
    A．（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
    B．（选修4-2：矩阵与变换）
    已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
    1
    1
    ，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
    1
    -1
    ，求矩阵A的逆矩阵A-1．
    C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
    以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
    π
    2
    )    ，直线l过点A且倾斜角为
    π
    4
    ，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
    D．（选修4-5：不等式选讲）
    设a，b，c，d都是正数，且x=
    		a2+b2
    ，y=
    		c2+d2
    ．求证：xy≥
    		(ac+bd)(ad+bc)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•南通二模）选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：(x-2)2+y2=4．
    （1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；
    （2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

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