Question

底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中，AB=

3

，BC=1，PA=2，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示，可得B、C、D、P、E各点坐标，从而得到向量

AC

、

PB

的坐标，利用空间向量的夹角公式即可算出AC与PB所成角的余弦值；
（2）根据N点在侧面PAB内，设N点坐标为（x，0，z），利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出x=

3

6

且z=1，得N(

3

6

，0，1)，即可得到侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，并可给出N点到AB和AP的距离．

解答：解：（1）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示
可得B(

3

，0，0)、C(

3

，1，0)、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E(0，

1

2

，1)，
从而

AC

=(

3

，1，0)，

PB

=(

3

，0，-2)．
设

AC

与

PB

的夹角为θ，则
cosθ=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

3

2 7

=

3 7

14

，
∴AC与PB所成角的余弦值为

3 7

14

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），
则

NE

=(-x，

1

2

，1-z)，
由NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

，即

(-x， 1 2 ，1-z)•(0，0，2)=0 (-x， 1 2 ，1-z)•( 3 ，1，0)=0

化简得

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

，即

x= 3 6 z=1

，可得N点的坐标为(

3

6

，0，1)，
从而侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，N点到AB和AP的距离分别为1，

3

6

．

点评：本题在特殊的四棱锥中求异面直线所成角的余弦值，并探索侧面PAB内满足NE⊥面PAC的点P位置，着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间向量研究空间位置关系等知识，属于中档题．