Question

已知a＞0，

1

b

-

1

a

＞1，求证：

1+a

＞

1

1-b

．

Answer 1

分析：证法一：利用分析法直接按照分析法的证题步骤证明即可．
证法二：直接利用综合法，通过已知条件证明推证结果即可．

解答：证明：证法一：由已知

1

b

-

1

a

＞1及a＞0，可知b＞0，
要证

1+a

＞

1

1-b

，
可证

1+a

•

1-b

＞1，
即证1+a-b-ab＞1，这只需证a-b-ab＞0，即

a-b

ab

＞1，即

1

b

-

1

a

＞1，
而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．
证法二：

1

b

-

1

a

＞1及a＞0，可知1＞b＞0，
∵

1

b

-

1

a

＞1，
∴a-b-ab＞0，1+a-b-ab＞1，（1+a）（1-b）＞1．
由a＞0，1-b＞0，得

1+a

•

1-b

＞1，
即

1+a

＞

1

1-b

．

点评：本题考查不等式的证明，分析法与综合法的应用，注意基本不等式的应用．