Question

已知函数f(x)=ax+

b

x

（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，

5

2

)两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；
（3）若不等式

4a

3

-2a≥f(x)对任意的x∈[

1

2

，3]恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=ax+

b

x

（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，

5

2

)两点，列方程能求出函数f（x）的解析式．
（2）设x₂＞x₁≥1，推导出f（x₁）-f（x₂）=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，由此能够证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）要使不等式

4a

3

-2a≥f(x)对任意的x∈[

1

2

，3]恒成立，只需

4a

3

-2a≥fmax(x)，x∈[

1

2

，3]，由此能求出a的取值集合．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax+

b

x

（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），(2，

5

2

)两点，
∴

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得a=1，b=1，
∴f(x)=x+

1

x

．…..（3分）
（2）设x₂＞x₁≥1，则f(x2)-f(x1)=x2+

1

x2

-x1-

1

x1

=x2-x1+

x1-x2

x1x2

=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵x₂＞x₁≥1，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．   …（6分）
（3）要使不等式

4a

3

-2a≥f(x)对任意的x∈[

1

2

，3]恒成立，
只需

4a

3

-2a≥fmax(x)，x∈[

1

2

，3]，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
同理可证f（x）在（0，1]上单调递减．
当x∈[

1

2

，3]时，f（x）在[

1

2

，1]上单调递减，f（x）在[1，3]上单调递增．
又f(

1

2

)=

5

2

，f(3)=

10

3

，
∴当x∈[

1

2

，3]时，fmax(x)=f(3)=

10

3

，
∴

4a

3

-2a≥

10

3

⇒4a-3•2a-10≥0⇒(2a+2)(2a-5)≥0⇒2a≥5⇒a≥log25，
∴a的取值集合是{a|a≥log₂5}．…（10分）

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明，考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和等价转化思想的合理运用．