Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．

（Ⅰ）当a＝1，解不等式f（x）＞1；

（Ⅱ）设a＞0，若对任意t∈（﹣1，0]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的和不大于log26，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（﹣∞，0）；（Ⅱ）[﹣4，1]．

【解析】

（I）当时，结合对数不等式、指数不等式的解法，求得不等式的解集.

（II）首先判断的单调性，由此求得在区间上的最大值和最小值，根据最大值和最小值的和不大于列不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.

（Ⅰ）当a＝1时，，则，

∴，解得x＜0，

∴不等式的解集为（﹣∞，0）；

（Ⅱ）∵在R上单调递减，

∴函数在定义域内单调递减，

∴函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为，最小值为，

∴，即，

令，则（2h+a）（h+a）≤6，即2h2+3ah+a2≤6，

∵y＝2h2+3ah+a2在上单调递增，

∴，解得﹣4≤a≤1，

∴实数a的取值范围时[﹣4，1]．