Question

若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=

1

9

，给出如下命题：
①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函数；④对任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）；⑤函数f（x）的值域也是R．你认为正确命题的序号有（　　）

A．①②③

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：对于抽象函数的求解策略和方法为赋值法，①令x=y=0，代入已知条件，即可求得结果；②令y=x，代入已知条件即可．③y=-x，代入已知条件即可判定函数的奇偶性；结合已知条件得到所有的正数都可以用f( 1 )=

1

9

表示，且在（0，+∞）上递增，即可判断出④⑤．

解答：解：①∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
②令y=x，代入已知条件f（x+y）=f（x）+f（y）⇒f（2x）=2f（x）；
③函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
④∵f( 1 )=

1

9

，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴所有的 正数都可以用f( 1 )=

1

9

表示出来，且在（0，+∞）上是增函数
所以④⑤都成立．
故①②③④⑤都成立．
故选D．

点评：本题考查抽象函数的有关问题，其中赋值法是常用的方法，考查函数的奇偶性的定义．判断函数的奇偶性，主要就是确定f（x）和f（-x）的关系，就是看f（x）±f（-x）=0的关系式．如果f（x）是奇函数，且f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0