Question

11．已知函数f（x）=x²-ax-b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m-3，m+1），则实数c的值为4．

Answer 1

分析 根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m-3，m+1最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．

解答 解：∵函数f（x）=x²-ax-b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=0只有一个根，即△=a²+4b=0，则b=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
不等式f（x）＜c的解集为（m-3，m+1），
即为x²-ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$＜c解集为（m-3，m+1），
则x²-ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-c=0的两个根为m-3，m+1，
∴m-3+m+1=2m-2=a，（m-3）•（m+1）=m²-2m-3=$\frac{{a}^{2}}{4}$-c，
解得：c=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．