Question

【题目】已知F1 ， F2为椭圆E的左右焦点，点P（1， ）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）设椭圆E的标准方程为 ，

由已知|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，∴a=2，

又点P（1， ）在椭圆上，∴ ，∴b= ，

椭圆E的标准方程为 =1．

（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，

∴SABCD=4S△OAB，

设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，

∴y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

S△OAB= + = |OF1||y1﹣y2|=

= =6

令m2+1=t，则t≥1，S△OAB=6 =6

又∵g（t）=9t+ 在[1，+∞）上单调递增

∴g（t）≥g（1）=10，∴S△OAB的最大值为 ．

∴SABCD的最大值为6

【解析】（I）设椭圆E的标准方程为 ，由已知|PF1|+|PF2|=4， ，由此能求出椭圆E的标准方程．（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S△ABCD=4S△OAB，设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值．