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2.如图所示,□ABCD中,$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$,BM=$\frac{2}{3}$BC,AN=$\frac{1}{4}$AB,
(1)试用向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$来表示$\overrightarrow{DN}$,$\overrightarrow{AM}$.
(2)AM交DN于O点,求AO:OM的值.

分析 (1)根据条件便可得到$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a},\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$,由向量加法、减法的几何意义即可得到$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$;
(2)由D,O,N三点共线,便有$\overrightarrow{DO}=λ\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$,从而有$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}+(1-λ)\overrightarrow{b}$,同理可得$\overrightarrow{AO}=μ\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}μ\overrightarrow{b}$,这便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}λ=μ}\\{1-λ=\frac{2}{3}μ}\end{array}\right.$,可解出$μ=\frac{3}{14}$,这样便能得出AO:OM=3:11.

解答 解:(1)$AN=\frac{1}{4}AB$;
∴$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$;
∴$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$;
$BM=\frac{2}{3}BC$;
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$;
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$;
(2)D,O,N三点共线,则$\overrightarrow{DO},\overrightarrow{DN}$共线,存在实数λ,使$\overrightarrow{DO}=λ\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$;
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}+(1-λ)\overrightarrow{b}$;
同理,A,O,M三点共线,存在μ,$\overrightarrow{AO}=μ\overrightarrow{AM}$=$μ\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}μ\overrightarrow{b}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}λ=μ}\\{1-λ=\frac{2}{3}μ}\end{array}\right.$;
解得$λ=\frac{6}{7}$,$μ=\frac{3}{14}$;
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{3}{14}\overrightarrow{AM},\overrightarrow{OM}=\frac{11}{14}\overrightarrow{AM}$;
∴AO:OM=3:11.

点评 考查共线向量基本定理,向量加法、减法的几何意义,以及平面向量基本定理,数乘的几何意义.

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组别
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