Question

2．如图所示，□ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，BM=$\frac{2}{3}$BC，AN=$\frac{1}{4}$AB，
（1）试用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$来表示$\overrightarrow{DN}$，$\overrightarrow{AM}$．
（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可得到$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}，\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$，由向量加法、减法的几何意义即可得到$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$；
（2）由D，O，N三点共线，便有$\overrightarrow{DO}=λ\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$，从而有$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow{b}$，同理可得$\overrightarrow{AO}=μ\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}μ\overrightarrow{b}$，这便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}λ=μ}\\{1-λ=\frac{2}{3}μ}\end{array}\right.$，可解出$μ=\frac{3}{14}$，这样便能得出AO：OM=3：11．

解答 解：（1）$AN=\frac{1}{4}AB$；
∴$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
$BM=\frac{2}{3}BC$；
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$；
（2）D，O，N三点共线，则$\overrightarrow{DO}，\overrightarrow{DN}$共线，存在实数λ，使$\overrightarrow{DO}=λ\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow{b}$；
同理，A，O，M三点共线，存在μ，$\overrightarrow{AO}=μ\overrightarrow{AM}$=$μ\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}μ\overrightarrow{b}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}λ=μ}\\{1-λ=\frac{2}{3}μ}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{6}{7}$，$μ=\frac{3}{14}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{3}{14}\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{OM}=\frac{11}{14}\overrightarrow{AM}$；
∴AO：OM=3：11．

点评 考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，数乘的几何意义．