【题目】如图,在平行四边形ABCD中,,,E为AB的中点将沿直线DE折起到的位置,使平面平面BCDE.
(1)证明:平面PDE.
(2)设F为线段PC的中点,求四面体D-PEF的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)在四边形ABCD中,根据已知角的大小和边的大小关系,可得DE⊥CE,又平面平面BCDE,根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面PDE;
(2)根据棱锥体积公式可知,取PE的中点G,可得,进而平面PDE,故FG是三棱锥F-PDE,以F为顶点时的高,分别求出和FG即可求出四面体D-PEF的体积.
(1)因为,E为AB的中点,则.
又,则为正三角形,所以.
因为,,则.
从而,即.
因为平面平面BCDE,平面平面.
平面BCDE,所以平面PDE.
(2)取PE中点G,连结FG.由于E为AB的中点,,则,
而,则,则.
因为F为C的中点,则,所以平面PDE .
在中,,,则
,即,所以,
则.
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【题目】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成,如图2.已知圆O的半径为,设,,圆锥的侧面积为(S圆锥的侧面积(R-底面圆半径,I-母线长))
(1)求S关于的函数关系式;
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度
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【题目】十九世纪末:法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”,即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少?”贝特朗用“随机半径”“随机端点”“随机中点”三个合理的求解方法,但结果都不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身,强烈地刺激了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下:设为圆上一个定点,在圆周上随机取一点,连接,所得弦长大于圆的内接等边三角形边长的概率.则由“随机端点”求法所求得的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类菠菜.根据统计,该基地的西红种增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.依据折线图及其提供的数据,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?如果可以,请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01),(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式,参考数据:,.
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【题目】已知有限项的、正整数的递增数列,并满足如下条件:对任意不大于各项总和的正整数,总存在一个子列,使得该子列所有项的和恰好等于.这里的‘子列’是指由原数列中的一部分项(包括一项、所有项)组成的新数列.
(1)写出,的值;
(2)“成等差数列”的充要条件是“各项总和恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么?请说明理由.
(3)若,写出“项数最少时,中的最大项”的值.
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【题目】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,设直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是.若,,则( )
A. B. C. D.
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【题目】设函数,其中,若是的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①存在,使、、不能构成一个三角形的三条边
②对一切,都有
③若为钝角三角形,则存在,使
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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