Question

6．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b．c，△ABC的面积为S，已知a²+c²=3S+b²
（I）求tanB的值；
（Ⅱ）若a²+c²+2=2（a+c），求边b的值．

Answer 1

分析 （I）由三角形面积公式及余弦定理根据已知可得：2accosB=3×$\frac{1}{2}acsinB$，即可解得tanB的值．
（Ⅱ）将已知等式配方可得（a-1）²+（c-1）²=0，解得a=c=1，经C点向AB作垂线，设垂足为D，可求sinB=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{4}{5}$，又BC=1，解得CD，BD，AD，由勾股定理即可求b的值．

解答 解：（I）∵△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}acsinB$，a²+c²=3S+b²，
又∵由余弦定理可得：a²+c²-b²=2accosB，
∴2accosB=3×$\frac{1}{2}acsinB$，解得：tanB=$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）∵a²+c²+2=2（a+c），
∴a²-2a+1+c²-2c+1=0，
∴（a-1）²+（c-1）²=0，
∴a=c=1，
∵如图，经C点向AB作垂线，设垂足为D，由tanB=$\frac{4}{3}$，可得：cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{4}{5}$=$\frac{CD}{CB}$，
又∵BC=1，
∴CD=$\frac{4}{5}$，BD=$\frac{3}{5}$，
∴AD=$\frac{2}{5}$，
∴b=AC=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．