Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，s_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：
a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=λa_na_n+1（λ≠0，n∈N^• ）
（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求实数λ的值；
（2）若λ=$\frac{1}{2}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由于a₁，a₂，a₃成等比数列，可设公比为q，则a₂=q，a₃=q²．由a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=λa_na_n+1（λ≠0，n∈N^• ），分别令n=1，2，即可得出．
（2）λ=$\frac{1}{2}$，则a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，化为S_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$+1=0，由a₁=1，a₂=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{5}{3}$．猜想${a}_{n}=\frac{n+2}{3}$．再利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₃成等比数列，可设公比为q，则a₂=q，a₃=q²．
∵a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=λa_na_n+1（λ≠0，n∈N^• ），
∴当n=1时，a₁S₂-a₂S₁+a₁-a₂=λa₁a₂，即（1+q）-q+1-q=λq，化为2-q=λq，
当n=2时，a₂S₃-a₃S₂+a₂-a₃=λa₂a₃，化为：2-q=λq²，
联立解得λ=q=1．
∴λ=1．
（2）λ=$\frac{1}{2}$，则a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
∵S_n+1=S_n+a_n+1，
∴（a_n-a_n+1）S_n+$\frac{1}{2}{a}_{n}{a}_{n+1}$+a_n-a_n+1=0．
化为S_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$+1=0，
∵a₁=1，令n=1，则1+$\frac{{a}_{2}}{2（1-{a}_{2}）}$+1=0，解得a₂=$\frac{4}{3}$，
同理可得a₃=$\frac{5}{3}$．
猜想${a}_{n}=\frac{n+2}{3}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=$\frac{1+2}{3}$=1，成立；
②假设当n≤k（k∈N^*）时成立，${a}_{k}=\frac{k+2}{3}$，则S_k=$\frac{k（1+\frac{k+2}{3}）}{2}$=$\frac{k（k+5）}{6}$．
∵S_k+$\frac{{a}_{k}{a}_{k+1}}{2（{a}_{k}-{a}_{k+1}）}$+1=0，
∴$\frac{k（k+5）}{6}$+$\frac{\frac{k+2}{3}{a}_{k+1}}{2（\frac{k+2}{3}-{a}_{k+1}）}$+1=0，
解得a_k+1=$\frac{k+1+2}{3}$．
因此当n=k+1时也成立，
综上可得：对于n∈N^*${a}_{n}=\frac{n+2}{3}$都成立．
由等差数列的前n项和公式可得：S_n=$\frac{n（n+5）}{6}$．
可得a_n+1=$\frac{n+3}{3}$，S_n=$\frac{n（1+\frac{n+2}{3}）}{2}$=$\frac{n（n+5）}{6}$，S_n+1=$\frac{（n+1）（n+6）}{6}$．
代入a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，验证成立．
∴S_n=$\frac{n（n+5）}{6}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数学归纳法，考查了猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．