Question

已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

Answer 1

（1）见解析    （2）见解析

证明： (1)因对定义域内的任意x₁、x₂都有
f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，
令x₁＝x，x₂＝－1，
则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又令x₁＝x₂＝－1，得2f(－1)＝f(1)．
再令x₁＝x₂＝1，得f(1)＝0，
从而f(－1)＝0，
于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)设0<x₁<x₂，
则f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)－f(x₁·)＝f(x₁)－[f(x₁)＋f()]＝－f()，
由于0<x₁<x₂，所以>1，从而f()>0，
故f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．