Question

已知球O的表面积为16π，且球心O在60°的二面角α-l-β内部，若平面α与球相切于M点，平面β与球相截，且截面圆O₁的半径为

3

，P为圆O₁的圆周上任意一点，则M、P两点的球面距离的最值为

2π

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图．欲求、P两点的球面距离的最大值，根据图形右知，当点P在圆O₁的圆周上最上方（图中位置）时，M、P两点的球面距离的最大，再结合∠MAP为60°的二面角α-l-β的平面角及四边形MAO₁O，得到∠MOO₁，利用在直角三角形POO₁中，求得∠O₁OP=60°，从而得出圆满心角∠MOP=180°=π，最后利用球面距离公式即可求得M、P两点的球面距离的最大值．

解答：解：根据题意画出图形，如图．
当点P在圆O₁的圆周上最上方（图中位置）时，M、P两点的球面距离的最大，
且其中∠MAP为60°的二面角α-l-β的平面角，∠MAP=60°，
∵OM⊥MA，OO₁⊥AP，∴∠MOO₁=120°，
又球O的表面积为16π，∴OP=2，
在直角三角形POO₁中，OP=2，O₁P=

3

，∴∠O₁OP=60°
∴∠MOP=180°=π，
则M、P两点的球面距离的最大值为2×π=2π．
故答案为：2π

点评：本小题主要考查球面距离及相关计算、球的性质、二面角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．