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设无穷等比数列的公比为q,且表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.
(Ⅰ)若,求
(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.
(Ⅲ)证明:)的充分必要条件为.

(Ⅰ);(Ⅱ)答案详见解析;(Ⅲ)答案详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)由已知得,,且当时,.且,故,且当时,,进而求;(Ⅱ)已知数列的前项和),可求得,由取整函数得,故,要证明,只需证明,故可联想到,则;(Ⅲ)先证明充分性,当时,,由取整函数的性质得,故;必要性的证明,当时,,则有.
试题解析:(Ⅰ)解:由等比数列,得,且当时,.
所以,且当时,.

(Ⅱ)证明:因为 ,所以 .
因为
所以 .
,得 .
因为
所以
所以 ,即 .
(Ⅲ)证明:(充分性)因为
所以
所以对一切正整数n都成立.
因为
所以.
(必要性)因为对于任意的
时,由,得
时,由,得.
所以对一切正整数n都有.
,得对一切正整数n都有
所以公比

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2=2a1+3,且3a2,a4,5a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和Sn.

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表示数列的前项和.
(1)若为公比为的等比数列,写出并推导的计算公式;
(2)若,求证:<1.

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在数列中,.
(1)求
(2)设,求证:为等比数列;
(3)求的前项积

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称满足以下两个条件的有穷数列阶“期待数列”:
;②.
(1)若数列的通项公式是
试判断数列是否为2014阶“期待数列”,并说明理由;
(2)若等比数列阶“期待数列”,求公比q及的通项公式;
(3)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;

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等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.

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已知数列是其前项的和,且满足,对一切都有成立,设
(1)求
(2)求证:数列 是等比数列;
(3)求使成立的最小正整数的值.

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数列项和,数列满足),
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:当时,数列为等比数列;
(3)在(2)的条件下,设数列的前项和为,若数列中只有最小,求的取值范围.

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已知数列的前项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.

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