设无穷等比数列的公比为q,且,表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.
(Ⅲ)证明:()的充分必要条件为.
(Ⅰ);(Ⅱ)答案详见解析;(Ⅲ)答案详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由已知得,,,,且当时,.且,故,,,且当时,,进而求;(Ⅱ)已知数列的前项和(),可求得,由取整函数得,,故,要证明,只需证明,故可联想到,则;(Ⅲ)先证明充分性,当时,,由取整函数的性质得,故;必要性的证明,当时,,则有.
试题解析:(Ⅰ)解:由等比数列的,,得,,,且当时,.
所以,,,且当时,.
即
(Ⅱ)证明:因为 ,所以 ,.
因为 ,
所以 ,.
由 ,得 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,即 .
(Ⅲ)证明:(充分性)因为 ,,
所以,
所以对一切正整数n都成立.
因为,,
所以.
(必要性)因为对于任意的,,
当时,由,得;
当时,由,,得.
所以对一切正整数n都有.
由 ,,得对一切正整数n都有,
所以公比
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2=2a1+3,且3a2,a4,5a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和Sn.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:
①;②.
(1)若数列的通项公式是,
试判断数列是否为2014阶“期待数列”,并说明理由;
(2)若等比数列为阶“期待数列”,求公比q及的通项公式;
(3)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
数列前项和,数列满足(),
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:当时,数列为等比数列;
(3)在(2)的条件下,设数列的前项和为,若数列中只有最小,求的取值范围.
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