Question

11．设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（1+t）=f（1-t），且x∈[0，1]时，f（x）=-x²，则f（3）+f（-$\frac{3}{2}$）的值等于$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据已知可得函数y=f（x）为周期为4的周期函数，进而结合x∈[0，1]时，f（x）=-x²，可得：f（3）+f（-$\frac{3}{2}$）的值．

解答 解：∵对任意t∈R都有f（1+t）=f（1-t），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
又∵函数y=f（x）为奇函数，
故函数y=f（x）的图象关于原点对称，
则f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x），
故f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故函数y=f（x）为周期为4的周期函数，
∵x∈[0，1]时，f（x）=-x²，
∴f（3）+f（-$\frac{3}{2}$）=f（-1）+f（$\frac{5}{2}$）=-f（1）+f（$\frac{3}{2}$）=-f（1）+f（$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，根据已知令x，y等于适合的值，进而“凑”出要解答或证明的结论，是解答的关键．