Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与

aj

ai

两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a₁的值；当n=3时，数列a₁，a₂，a₃是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a₁，a₂，…，a_n的一个真命题，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与

aj

ai

两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）根据A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性质P，则a_na_n 与

an

an

中至少有一个属于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A 从而1=

an

an

∈A 求出a₁的值，易证

a3

a1

 ，  

a3

a2

，  

a3

a3

都属于A，从而

a3

a1

=a3，

a3

a2

=a2，

a3

a3

=a1，即a₃=a₁a₃=a₂²，满足等比数列的定义；
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列，由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法进行证明即可．

解答：解：（1）由于3×4 与

4

3

均不属于数集{1，3，4}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P …2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3，

6

2

，

6

3

，

1

1

 ， 

2

2

 ， 

3

3

 ， 

6

6

都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，2，3，6} 具有性质P…4分
（2）∵A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性质P，
∴a_na_n 与

an

an

中至少有一个属于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A …5分
从而1=

an

an

∈A …6分∴a₁=1 …7分
当n=3 时，∵

a3

a1

＞ 

a3

a2

＞ 

a3

a3

，a₁=1，a₂a₃∉A，∴

a3

a1

 ，  

a3

a2

，  

a3

a3

都属于A …8分
从而

a3

a1

=a3，

a3

a2

=a2，

a3

a3

=a1，即a₃=a₁a₃=a₂²，…9分
故数列a₁，a₂，a₃ 成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列． …12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），知

a2k+1

a1

， 

a2k+1

a2

， 

a2k+1

a3

，…，

a2k+1

a2k+1

都属于A，又

a2k+1

a1

＞ 

a2k+1

a2

＞ 

a2k+1

a3

＞…＞

a2k+1

a2k+1

，从而，有

a2k+1

a1

=a2k+1， 

a2k+1

a2

=a2k， 

a2k+1

a3

=a2k-1，…，

a2k+1

a2k+1

=a1，即 a_2k+1=a₁a_2k+1=a₂a_2k=a₃a_2k-1=…=a_i+2a_2k-i=…=a₂a_k+2=a_k+1² …（﹡） 因为a_i+ja_2k-i＞a_i+2a_2k-i=a_2k+1（0≤i≤k-2，3≤j≤2k-2i），所以，只有

a2k-i

ai+3

，

a2k-i

ai+4

，… ， 

a2k-i

a2k-i

均属于A． 将i 从0 到k-2 列举，便得到：
第1组：

a2k

a3

 ， 

a2k

a4

 ， 

a2k

a5

 ， … ， 

a2k

a2k-1

 ， 

a2k

a2k

，共2k-2 项；
第2组：

a2k-1

a4

 ， 

a2k-1

a5

 ， 

a2k-1

a6

 ， … ， 

a2k-1

a2k-2

 ， 

a2k-1

a2k-1

，共2k-4 项；
第3组：

a2k-2

a5

 ， 

a2k-2

a6

 ， 

a2k-2

a7

 ， … ， 

a2k-2

a2k-3

 ， 

a2k-2

a2k-2

，共2k-6 项；
…第k-1 组：

ak+2

ak+1

 ， 

ak+2

ak+2

，共2 项．上一组的第2项总大于下一组的第1项，
再注意到

a2k

a3

=

a2k-1

a2

＜a2k-1，故第1组的各数从左到右依次为：a_2k-2，a_2k-3，a_2k-4，…，a₂，a₁；第2组的各数从左到右依次为：a_2k-4，a_2k-5，a_2k-6，…，a₂，a₁；第3组的各数从左到右依次为：a_2k-6，a_2k-7，a_2k-8，…，a₂，a₁； …第k-1 组的各数从左到右依次为：a₂，a₁．于是，有

a2k

a2k-1

=

a2k-1

a2k-2

=

a2k-2

a2k-3

=…=

ak+2

ak+1

=a2，由（﹡），

ak+1

ak

=

ak+2

ak+1

，

ak

ak-1

=

ak+3

ak+2

，…，

a3

a2

=

a2k

a2k-1

，又

a2k+1

a2k

=a2，故数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列．…15分

点评：本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．