Question

设正方体ABC-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，动点E，F在棱A₁B₁上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z＞0），则下列结论中错误的是（ ）
A．EF∥平面DPQ
B．二面角P-EF-Q所成角的最大值为
C．三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x、z的变化无关
D．异面直线EQ和AD₁所成角的大小与x、y的变化无关

Answer 1

【答案】分析：由线面平行的判定定理，得A项正确；由二面角的定义和正方体性质，可得B项没有错误；由线面垂直的判定与性质，可得D项也正确．根据锥体体积公式和正方体的性质，可得C项中三棱锥P-EFQ的体积与x、y大小无关，与z大小有关，故C项有错误，由此即可得到本题的答案．
解答：解：对于A，因为平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内的直线DQ，
故EF∥平面DPQ，得A项正确；
对于B，当P点在AD上，由靠近点D的位置向A移动的过程中，
二面角P-EF-Q的大小逐渐增大，直到当P与A重合时，
二面角大小等于二面角A-A₁B₁-D，刚好等于，故B正确；
对于C，由点Q到EF的距离等于2，而EF=1，故S_△EFQ=不变，
而随着P在AD上运动，P到平面EFQ的距离为变量，从而使得三棱锥P-EFQ的
体积跟着变化，所以三棱锥P-EFQ的体积与x、y大小无关，与z大小有关，
由此可得C项有错误；
对于D，由线面垂直的判定定理，可得AD₁⊥平面A₁DCB₁，而直线EQ在平面内运动，
可得不论EQ怎样运动，总有EQ与AD₁成90°的角，与x、y的变化无关，故D项正确．
故选：C
点评：本题给出正方体中的动点，探索了线面位置关系、二面角的大小和锥体的体积，着重考查了空间角大小的求法、线面平行和线面垂直的证明等知识点，属于中档题．