Question

已知两圆C1：x 2+y2+4x-4y+4=0和圆C2：x2+y2+2x=0
（1）求证：两圆相交．
（2）求过点（-2，3），且过两圆交点的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距C₁C₂ 大于两圆的半径之差而小于两圆的半径之和，证得两圆相交．
（2）设过两圆交点的圆的方程为 x²+y²+4x-4y+4+λ（x²+y²+2x）=0，把点（-2，3）代入求得λ=

1

3

，可得所求的圆的方程．

解答：解：（1）证明：∵圆C1：x 2+y2+4x-4y+4=0，即（x+2）²+（y-2）²=4，表示以C₁（-2，2）为圆心、半径等于2的圆．
圆C2：x2+y2+2x=0，即 （x+1）²+y²=1，表示以C₂（-1，0）为圆心、半径等于1的圆．
两圆的圆心距C₁C₂=

1+4

=

5

，大于两圆的半径之差而小于两圆的半径之和，故两圆相交．
（2）设过两圆交点的圆的方程为 x²+y²+4x-4y+4+λ（x²+y²+2x）=0，
把点（-2，3）代入求得λ=

1

3

，故所求的圆的方程为 x²+y²+4x-4y+4+

1

3

（x²+y²+2x）=0，
即 x 2+y2+

7

2

x-3y+3=0．

点评：本题主要考查两圆的位置关系的判断方法，用待定系数法求圆的方程，属于中档题．