Question

11．已知△ABC的顶点为A（0，1），B（8，0），C（4，10），若$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$且$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EA}$，AD与BE交于点F，求向量$\overrightarrow{AF}$．

Answer 1

分析 由已知可D为BC的中点，E为AC上靠近A点的三等分点，求出两点坐标，代入两点式，可得AD与BE所在直线方程，联立方程可得F点的坐标，进而得到答案．

解答 解：∵A（0，1），B（8，0），C（4，10），若$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$且$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EA}$，
则D为BC的中点，故D点坐标为（6，5），
E为AC上靠近A点的三等分点，故E点坐标为（$\frac{4}{3}$，4），
则AD所在直线的方程为：$\frac{x}{6}=\frac{y-1}{5-1}$，即y=$\frac{2}{3}$x+1，
直线BE所在直线的方程为$\frac{x-8}{\frac{4}{3}-8}=\frac{y}{4}$，即y=$-\frac{3}{5}$x+$\frac{24}{5}$，
联立两条直线的方程可得：x=3，y=3，
故F点坐标为（3，3），
故向量$\overrightarrow{AF}$=（3，2）

点评 本题考查的知识点是向量的线性运算，直线方程，直线的交点，是直线与平面向量的综合应用，难度中档．