Question

已知函数f（x）=，g（x）=asin（）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是________．

Answer 1

①②④
分析：①由于f（x）=，当＜x≤1时，f（x）=2[（x+2）+]-8，利用双钩型函数h（z）=2（z+）-8在z∈（，3]上单调递增，可求f（x）的值域为（，]；当x∈[0，]时，利用f（x）=-x+为减函数，可求f（x）的值域为[0，]，从而可判断①的正误；
对于②，可求g（x）=-acosx-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判断y=-cosx在[0，]上单调递增，而a＞0，从而可判断函数g（x）在[0，1]上是增函数；
对于③，由g（x）=-acosx-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acosx-2a+2≤2-a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），从而可判断③错误；
对于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则0≤2-3a≤或0≤2-a≤，从而可求得a的范围，可判断其正误．
解答：∵＜x≤1时，f（x）===2[（x+2）+]-8
而＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（，3]，
双钩型函数h（z）=2（z+）-8在z∈（，3]上单调递增，
∴h（）=-8=，h（z）_max=h（3）=，
∴当x∈（，1）时，f（x）的值域为（，]；
当x∈[0，]时，f（x）=-x+为减函数，f（x）的值域为[0，]；
∴函数f（x）的值域为[0，]，故①正确；
对于②，g（x）=asin（）-2a+2=-acosx-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤x≤，
∵y=cosx在[0，]上单调递减，
∴y=-cosx在[0，]上单调递增，又a＞0，
∴g（x）=-acosx-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函数，故②正确；
对于③，由g（x）=-acosx-2a+2（a＞0）知，
当0≤x≤1时，0≤x≤，≤cosx≤1，又a＞0，
∴-a≤-acosx≤-，
∴2-3a≤-acosx-2a+2≤2-a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域为[0，]，显然f（x）≠g（x），故③错误；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则0≤2-3a≤或0≤2-a≤，
解得≤a≤或≤a≤，由于＜，
∴[，]∪[，]=[，]．
故④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查函数的值域，考查三角函数的诱导公式及综合应用，属于难题．