Question

已知函数f(x)=

a-3x

的反函数为y=f^-1（x）
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）的解析式；
（2）若y=f（x）的图象与直线y=x有交点，求实数a的取值范围；
（3）判断方程f（x）=f^-1（x）的实根的个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把原函数两边平方后解出x，然后把x和y互换，注意反函数的定义域；
（2）作出函数y=f（x）的图象，然后数形结合分析可得答案；
（3）作出函数y=f（x）与其反函数y=f^-1（x）的图象，由图可以直观看出方程f（x）=f^-1（x）的实根的个数．

解答：解：（1）由y=

a-3x

，得：x=

a-y2

3

（y≥0），所以原函数的反函数为f-1(x)=

a-x2

3

(x≥0)；
（2）由y=f(x)=

a-3x

，得：y2=-3x+a=-3(x-

a

3

)  (y≥0)，
其图象是把函数y²=-3x（y≥0）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|

a

3

|个单位得到的，如图，

要使y=f（x）的图象与直线y=x有交点，则a≥0；
（3）因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，如图，

当a＜0时，函数y=f（x）与其反函数的图象无交点，所以方程f（x）=f^-1（x）无实根；当a≥0时，函数y=f（x）与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f（x）=f^-1（x）有一个实根．

点评：本题考查了反函数，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数形结合的解题思想，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，此题为中档题．