Question

14．已知定义域为R的函数$f（x）=a-\frac{2}{{1+{2^x}}}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈R，不等式f（x²-2x）+f（t-x）＞0恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质可知f（0）=0，求出a的值；
（2）先判断当x＞0时，显然为增函数，利用奇函数关于原点对称可得f（x）在R上也为增函数，不等式可整理为x²-3x+t＞0恒成立，利用判别式可求解．

解答 解：（1）函数$f（x）=a-\frac{2}{{1+{2^x}}}$是奇函数，
∴f（0）=0，
∴a=1；
（2）$f（x）=a-\frac{2}{{1+{2^x}}}$，当x＞0时，显然为增函数，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在R上也为增函数，
∵f（x²-2x）+f（t-x）＞0恒成立，
∴x²-3x+t＞0恒成立，
∴△=9-4t＜0，
∴$t＞\frac{9}{4}$．

点评 考查了奇函数的性质和二次函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．