【题目】已知函数f(x)= lnx-x+,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,+∞)上存在极值点,求a的取值范围;
(2)设a∈(1,e],当x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)时,记f(x2)-f(x1)的最大值为M(a).那么M(a)是否存在最大值?若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)a∈(0,1)∪(1,+∞).(2)
【解析】试题分析:(1)即导函数在(0,+∞)上变号,讨论导函数零点大小,可得导函数符号变化规律,进而得a的取值范围;(2)根据函数单调性得f(x2)最大值为f(a),f(x1)最小值为f(,即得M(a).利用导数研究M(a)单调性,即得M(a)最大值
试题解析:(1)f′(x)=-1-=,x∈(0,+∞).
①当a=1时,f′(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,不存在极值点;
②当a>0且a≠1时,f′(a)=f′=0.经检验a,均为f(x)的极值点.
∴a∈(0,1)∪(1,+∞).
(2)当a∈(1,e]时,0<<1<a.由(1)知,当f′(x)>0时, <x<a;当f′(x)<0时,x>a或x<.
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
∴对x1∈(0,1),有f(x1)≥f;对x2∈(1,+∞),有f(x2)≤f(a).
∴[f(x2)-f(x1)]max=f(a)-f.
∴M(a)=f(a)-f=-
=2,a∈(1,e].
M′(a)=2lna+2+2=2lna,a∈(1,e].
∴M′(a)>0,即M(a)在(1,e]上单调递增.
∴M(a)max=M(e)=2+2=.
∴M(a)存在最大值.
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【题目】已知直线l极坐标方程ρcosθ﹣ρsinθ+3=0,圆M的极坐标方程为ρ=4sinθ.以极点为原点,极轴为x轴建立直角坐标系(1)写出直线l与圆M的直角标方程;
(2)设直线l与圆M交于A、B两点,求AB的长.
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【题目】(题文)已知函数(),其中.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若函数仅在处有极值,求的取值范围;
(3)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
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【题目】为迎接2016年“猴”年的到来,某电视台举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题A有三个选项,问题B有四个选项,每题只有一个选项是正确的,正确回答问题A可获奖金1千元,正确回答问题B可获奖金2千元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答正确,则继续答题,否则该参与者猜奖活动终止.假设某参与者在回答问题前,选择每道题的每个选项的机会是等可能的.
(Ⅰ)如果该参与者先回答问题A,求其恰好获得奖金1千元的概率;
(Ⅱ)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.
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【题目】数列{an}与{bn}满足:①a1=a<0,b1=b>0,②当k≥2时,若ak﹣1+bk﹣1≥0,则ak=ak﹣1 , bk= ;若ak﹣1+bk﹣1<0,则ak= ,bk=bk﹣1 .
(Ⅰ)若a=﹣1,b=1,求a2 , b2 , a3 , b3的值;
(Ⅱ)设Sn=(b1﹣a1)+(b2﹣a2)+…+(bn﹣an),求Sn(用a,b表示);
(Ⅲ)若存在n∈N* , 对任意正整数k,当2≤k≤n时,恒有bk﹣1>bk , 求n的最大值(用a,b表示).
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【题目】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证AM∥平面BDE;
(2)求二面角A﹣DF﹣B的大小;
(3)试在线段AC上一点P,使得PF与CD所成的角是60°.
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