Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+1=

2

Sn+1+Sn-2

．
（1）求{S_n}的通项公式；
（2）设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b₃；
②存在N（N∈N^*），当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a_n+1=S_n+1-S_n，可得（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；变形可得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）①利用S_n=1+

2n-1

，对n取值即可得出b₃．
②由于2n-1是奇数，S_n=1+

2n-1

为有理数，可得

2n-1

=2k-1，可得n=2k²-2k+1，取k=20，21即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；
即（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2，
∴（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，
∴{（S_n-1）²}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴S_n=1+

2n-1

．
（2）①n=1时，S₁=1+1=2=b₁，n=5时，S₅=1+3=4=b₂，n=13时，S₁₃=1+5=6=b₃．
②∵2n-1是奇数，S_n=1+

2n-1

为有理数，则

2n-1

=2k-1，
∴n=2k²-2k+1，
当k=20时，n=761；当k=21时，n=841；
∴存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项．

点评：本题考查了变形转化为等差数列的方法，考查了等差数列的通项公式、分类讨论的思想方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．