Question

某家电企业根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售某种家电的统计规律，每生产该种家电x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1.5万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=

-0．5x2+5.5x(0≤x≤7) 18                      (x＞7)

，假定该家电产销平衡（即生产的产品都能卖出），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）假定该企业的产量必须在7百台以上，要使工厂有盈利，求产量x的范围；
（3）若没有（2）的条件该企业生产多少台产品时，可使盈利最多．

Answer 1

分析：（1）先计算出总成本，再利用利润=销售收入-总成本即可；
（2）当x＞7时，f（x）=15-1.5x，联立f（x）＞0，x＞7，解出即可；
（3）分当0≤x≤7时，当x＞7时，利用函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）由题意可知：总成本为G（x）=1.5x+3（万元），
∴利润函数y=f（x）=R（x）-G（x）=

-0.5x2+4x-3，当0≤x≤7时 15-1.5x，当x＞7时

；
（2）该企业的产量必须在7百台以上，要使工厂有盈利，则f（x）＞0，x＞7，即

15-1.5x＞0 x＞7

，解得7＜x＜10，∴产量x的范围是（7，10）；
（3）①当0≤x≤7时，f（x）=-0.5x²+4x-3=-

1

2

(x-4)2+5，由二次函数的单调性可知：当x=4时，f（x）取得最大值5万元；
②当x＞7时，f（x）=-1.5x+15关于x单调递减，
∴f（x）＜15-1.5×7=4.5万元．

点评：正确理解总成本=固定成本+生产成本，利润=销售收入-总成本，及熟练掌握分段函数的意义、二次函数与一次函数的单调性是解题的关键．