Question

【题目】已知奇函数f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f′（x）为其导函数，且满足以下条件①x＞0时，f′（x）＜ ；②f（1）= ；③f（2x）=2f（x），则不等式 ＜2x2的解集为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）
【解析】解：令F（x）= ，则F′（x）= ，
∵x＞0时，f′（x）＜ ，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，
∴F（x）= 为偶函数，
∴F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
又f（1）= ，f（2x）=2f（x），
∴f（ ）= f（1）= ，f（ ）= f（ ）= ，
∴F（ ）= =8，
∴ ＜2x2等价于 ＜8，即F（x）＜F（ ），故|x|＞ ，
解得：x＞ 或x＜﹣ ．
所以答案是：（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．