Question

f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，x∈[0，2]时，f（x）=2x-cosx，若a=f(-

3

2

)，b=f(

15

2

)，则a与b的大小关系为a

＞

b（填写＞，＜或=）．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的周期性及奇偶性，对f（-

3

2

），f（

15

2

）进行等价转化，把自变量的值转化到区间[2，4]上，再根据f（x）在区间[2，4]上是增函数，即可得到函数值f（-

3

2

），f（

15

2

）的大小关系．

解答：解：∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-cosx，
∴f^′（x）=2+sinx＞0在x∈[0，2]上恒成立，
∴f（x）=2x-cosx在x∈[0，2]上单调递增，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且是以4为周期的周期函数，
∴f（x）=2x-cosx在x∈[-2，0]上单调递减，
∵f（x+4）=f（x），∴f（x）在x∈[2，4]上单调递减，
∵f（-

3

2

）=f（-

3

2

+4）=f（

5

2

），f（

15

2

）=f（

15

2

-4）=f（

7

2

），且2＜

5

2

＜

7

2

＜4，
∴f（

5

2

）＞f（

7

2

），即f（-

3

2

）＞f（

15

2

）．
故答案为：＞．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属常考题，较难．解题的关键是利用函数的周期性及奇偶性对f（-

3

2

），f（

15

2

）进行等价转化，借助函数f（x）在区间[2，4]上的单调性进行比较．