Question

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益=总成本+利润）

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．

解答： 解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）=

300x- 1 2 x2-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400

；
（2）当0≤x≤400时，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
所以当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=60000-100x是减函数，
所以f（x）=60000-100×400＜25000．
所以当x=300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．

点评：本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．