Question

现用4种颜色给三棱柱的6个顶点涂色，要求同一条棱的两端点的颜色不同，问有

264

种不同的涂色方案．

Answer 1

分析：根据题意，先设该三棱柱为ABC-DEF，4种颜色分别为1′、2′、3′、4′；由三棱柱的性质分析可得：A、B、C颜色互不相同，D、E、F颜色也互不相同；A与D、B与E、C与F颜色不同；则分2步进行，先分析底面ABC，易得其涂色情况数目，再对另一底面分类讨论，可得其情况数目；最后由分步计数原理，计算可得答案．

解答：解：设该三棱柱为ABC-DEF，4种颜色分别为1′、2′、3′、4′；
由三棱柱的特点可知A、B、C颜色互不相同，D、E、F颜色也互不相同；A与D、B与E、C与F颜色不同；
先为A、B、C涂颜色有涂法A₄³=24种，比如选择1′、2′、3′三个颜色．
对于D、E、F的涂法可分为两种情况：
①是选颜色4′，再选择两个颜色有C₃²=3种，颜色4′涂一个点后另两个颜色涂法就确定了，故共有涂色方法3×3=9种；
②是没选颜色4′，易知涂色方法有2种．
于是共有涂色方法24×（9+2）=264种；
故答案为264．

点评：本题考查排列组合的运用，是典型的涂色问题；解题时，一般涉及分类讨论，故注意考虑要全面而细致，做到不重不漏．