Question

如图，已知双曲线C：的右准线l₁与一条渐近线l₂交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点．
（I）求证：；
（II）若||=1且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线l₃过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可求得点M（），F（c，0），=（，），计算=0即可；
（Ⅱ）由e=，可得a²=2b²，又||=1，可求得双曲线C的方程为：；
（Ⅲ）设l₃：y=kx+1，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由联立得（1-2k²）x²-4kx+4=0，结合l₃与双曲线C右支交于不同的两点P、Q，列关系式可求得，再结合，即可求得λ的取值范围．
解答：证明：（I）∵右准线，渐近线，
∴，
∵F（c，0），c²=a²+b²，
∴=，，
∵，
∴…（3分）
（II）∵，
∴，
∴a²=2b²，
∵||=1，
∴，
∴
∴双曲线C的方程为：…（7分）
（III）由题意可得0＜λ＜1…（8分）
证明：设l₃：y=kx+1，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由得（1-2k²）x²-4kx+4=0∵l₃与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
∴，
∴…（11分）
∵，
∴（x₁，y₁-1）=λ（x₂，y₂-1），得x₁=λx₂

∵，
∴0＜2k²-1＜1，
∴，
∴（1+λ）²＞4λ，
∴λ²-2λ+1＞0
∴λ的取值范围是（0，1）…（13分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查双曲线的标准方程与简单几何性质及其应用，难点在于（Ⅲ）λ的范围的求解，方程思想与转化思想的综合运用，属于较难的题．