已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD="AD."
(Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;
(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证:EF⊥BC;
(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.
(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 见解析;(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)证明BC∥AD,利用线面平行的判定,证明BC∥平面PAD;
(Ⅱ)利用线面垂直的判定证明BC⊥面EFG,即可证明EF⊥BC;
(Ⅲ)设PA的中点为N,连结DN,NC,证明∠CND是所求二面角的平面角,从而可求二面角C-PA-D的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为ABCD是正方形,所以BC∥AD.
因为AD?平面PAD,BC平面PAD,
所以BC∥平面PAD.…(4分)
(Ⅱ)证明:因为PD⊥底面ABCD,且ABCD是正方形,所以PC⊥BC.
设BC的中点为G,连结EG,FG,则EG∥PC,FG∥DC.
所以BC⊥EG,BC⊥FG.…(6分)
因为EG∩FG=G,所以BC⊥面EFG.
因为EF?面EFG,所以EF⊥BC.…(8分)
(Ⅲ)解:设PA的中点为N,连结DN,NC,
因为PD=AD,N为中点,所以DN⊥PA.
又△PAC中,PC=AC,N为中点,所以NC⊥PA.
所以∠CND是所求二面角的平面角.…(10分)
依条件,有CD⊥PD,CD⊥AD,
因为PD∩AD=D,所以CD⊥面PAD.
因为DN?面PAD,所以CD⊥DN.
在Rt△CND中,DN=,NC=
.于是Cos∠CND=
.…(13分)
考点:1、用空间向量求平面间的夹角;2、直线与平面平行的判定;3、二面角的平面角及求法.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE∥平面PAD;
(2)若BE⊥平面PCD,求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.
(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证DE⊥BC1;
(2)是否存在点E,使二面角D-BE-A等于60°,若存在求AE的长;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
斜三棱柱,其中向量
,三个向量之间的夹角均为
,点
分别在
上且
,
=4,如图
(Ⅰ)把向量用向量
表示出来,并求
;
(Ⅱ)把向量用
表示;
(Ⅲ)求与
所成角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在底面边长为2,高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中,E,F分别为BC,C1D1的中点.
(1)求异面直线A1E,CF所成的角;
(2)求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分10分)
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,,N为AB上一点,AB="4AN," M、S分别为PB,BC的中点.以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立如图空间直角坐标系.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
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