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直线x+
3
y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是(  )
分析:根据题意求出已知直线的斜率,从而得到它的倾斜角,由此得到直线按题中的方法旋转所得直线的斜率,进而得到旋转所得的直线方程.求出已知圆的圆心与半径,算出圆心到旋转所得直线的距离,将这个距离与圆的半径比较大小,即可得到答案.
解答:解:∵直线x+
3
y=0化成斜截式,得y=-
3
3
x,
∴直线x+
3
y=0的斜率k=-
3
3
,可得直线的倾斜角1500
因此,将直线绕原点按顺时针方向旋转30°后,得到的直线倾斜角为150°-30°=120°,
∴旋转后的直线斜率为k'=tan120°=-
3

可得旋转后所得的直线方程为:y=-
3
x,即
3
x+y=0,
圆x2+y2-4x+1=0化成标准方程,得(x-2)2+y2=3,
∴圆心为(2,0),半径r=
3

求得圆心到所得直线的距离d=
|2
3
|
3+1
=
3
,恰好与半径相等.
∴旋转后所得的直线与圆的位置关系是相切.
故选:A
点评:本题将直线绕原点旋转,求旋转所得的直线与圆的位置关系.着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
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