Question

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取PC的中点M，连接EM，…（2分）
∵△PCE中，E、M分别为PD、PC的中点
∴EM∥CD，EM=DC，
又∵CD∥AB且AB=DC，
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四边形ABME是平行四边形．
∴AE∥BM，
∵AE?平面PBC，AE?平面PBC
∴AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
结合BM?平面PBC，所以CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中点
∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC?平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，
∴AE⊥平面PDC
∵AE?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC…（14分）
分析：（I）取PC的中点M，连接EM，利用△PCE的中位线，得到EM∥CD，EM=DC，再结合CD∥AB且AB=DC，得到四边形ABME是平行四边形．从而得出AE∥BM，最后用线面平行的判定定理可以证出AE∥平面PBC；
（II）利用线面垂直的性质结合AB∥CD，得到CD⊥平面PBC，从而得出CD⊥BM，再结合PC⊥BM，利用线面垂直的判定定理，得到BM⊥平面PDC，最后结合AE∥BM，得到AE⊥平面PDC，结合平面与平面垂直的判定定理，可得平面ADP⊥平面PDC．
点评：本题借助于一个特殊的几何体模型，通过证明直线与平面平行和平面与平面垂直，着重考查了直线与平面平行的判定定理和平面与平面垂直的判定定理等知识点，属于基础题．