Question

8．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的侧面积是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的侧面积．

解答 解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，
所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，
球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=1，a=$\sqrt{3}$，
三棱锥的斜率h=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以该正三棱锥的侧面积S=3×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查棱锥的侧面积的求法，考查棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是中档题．