Question

3．如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的为（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①②
• D． ②③④

Answer 1

分析 如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．
（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．

解答 解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
对于（1），由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．
对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
故选：A．

点评 本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．