Question

球面上有三个点A、B、C组成球的一个内接三角形，若AB=18，BC=24，AC=30，且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的，那么这个球的表面积是________．

Answer 1

1200π
分析：由已知，易得三角形ABC是直角三角形，AC是斜边，设中点为M，则过A，B，C的截面圆心为M，OA=OB=OC是半径，求出OM，利用球半径是球心O到平面ABC的距离的2倍，求出半径，即可求出球O的表面积．
解答：解：球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，
AC²=AB²+BC²，∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心
球心O到平面ABC的距离即OM=球半径的一半=R
△OMA中，∠OMA=90°，OM=R，AM=AC=30×=15，OA=R
由勾股定理（ R）²+15²=R²，R²=225
解得R=10
球的表面积S=4πR²=1200π
故答案为：1200π．
点评：本题考查空间想象能力，计算能力，根据球的截面圆的性质，确定三角形ABC的形状以及利用球半径是球心O到平面ABC的距离的2倍，是解好本题是前提．