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已知函数f(x)=ex|x2-a|(a≥0).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调减区间;
(2)若方程f(x)=m恰好有一个正根和一个负根,求实数m的最大值.
考点:分段函数的应用,函数的单调性及单调区间,根的存在性及根的个数判断
专题:分类讨论,转化思想,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)求出a=1的f(x)的解析式,分别求出各段的导数,解不等式即可得到减区间;
(2)讨论a=0,a>0,通过导数判断单调区间和极值,由方程f(x)=m恰好有一个正根和一个负根,即可求得m的范围,进而得到m的最大值.
解答: 解:(1)a=1时,f(x)=
ex(x2-1),|x|>1
ex(1-x2),|x|≤1

当|x|>1时,f′(x)=ex(x2+2x-1),
由f′(x)≤0得-1-
2
≤x≤-1+
2

所以f(x)的单调减区间是(-1-
2
,-1);
当|x|≤1时,f′(x)=-ex(x2+2x-1),
由f′(x)≤0得x≥-1+
2
或x≤-1-
2

所以f(x)的单调减区间是(-1+
2
,1);
综上可得,函数f(x)的单调减区间是(-1-
2
,-1),(-1+
2
,1);

(2)当a=0时,f(x)=ex•x2,f′(x)=ex•x(x+2),
当x<-2时,f′(x)>0,f(x)递增,当-2<x<0时,f′(x)<0,f(x)递减,
当x>0时,f′(x)>0,f(x)递增.
f(-2)为极大值,且为4e-2,f(0)为极小值,且为0.
当a>0时,f(x)=
ex(x2-a),|x|>
a
ex(a-x2),|x|≤
a

通过导数可得f(x)在(-∞,-
a+1
-1)递增,在(-
a+1
-1,-
a
)递减,
在(-
a
a+1
-1)递增,在(
a+1
-1,
a
)递减,(
a
,+∞)递增.
则y=f(x)有两个极大值点,
f(-
a+1
-1)=2e-1-
a+1
(1+
a+1
),f(
a+1
-1)=2e
a+1
-1
a+1
-1),
且当x=a+1时,f(a+1)=ea+1(a2+2a+1)>2e
a+1
-1
a+1
-1)=f(
a+1
-1).
若方程f(x)=m恰好有一个正根,则m>f(
a+1
-1).(否则有两个正根),
又方程f(x)=m恰好有一个负根,则m=f(-1-
a+1
),
令g(x)=e-x(x+1),x≥1.g′(x)=-xe-x<0,
g(x)在x≥1递减,g(x)≤g(1)=
2
e
,当且仅当x=1取得等号,
f(-1-
a+1
)≤
4
e2
等号当且仅当x=0,此时f(
a+1
-1)=2e
a+1
-1
a+1
-1)=0,
则f(-
a+1
-1)>f(
a+1
-1),
要使方程f(x)=m的恰好有一个正根和一个负根,实数m的最大值为
4
e2
点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查分类讨论的思想方法,运用函数和方程的转化思想是解题的关键.
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