Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2，0），且两条准线间的距离为λ（λ＞4）．
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先设出椭圆的方程，进而根据焦点坐标求得c，根据两条准线间的距离为λ求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（II）依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y=k（x-1）．设点F（2，0）关于直线l的对称点为F'（x₀，y₀），把F和F'的中点坐标代入直线方程求得x₀和y₀的表达式，代入椭圆方程可到关于k的方程，根据判别式大于等于0和方程对称轴大于0求得λ的取值范围．

解答：解：（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0).
由条件知c=2，且

2a2

c

=λ，所以a²=λ，b²=a²-c²=λ-4．
故椭圆的方程是

x2

λ

+

y2

λ-4

=1(λ＞4).
（II）依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y=k（x-1）．
设点F（2，0）关于直线l的对称点为F'（x₀，y₀），
则

y0 2 =k( x0+2 2 -1) y0 x0-2 •k=-1

解得

x0= 2 1+k2 y0= 2k 1+k2

因为点F'（x₀，y₀）在椭圆上，所以

( 2 1+k2 )2

λ

+

( 2k 1+k2 )2

λ-4

=1.
即λ（λ-4）k⁴+2λ（λ-6）k²+（λ-4）²=0．
设k²=t，则λ（λ-4）t²+2λ（λ-6）t+（λ-4）²=0．
因为λ＞4，所以

(λ-4)2

λ(λ-4)

＞0.
当且仅当

△=[2λ(λ-6)]2-4λ(λ-4)3 - 2λ(λ-6) λ(λ-4) ＞0.

(*)
上述方程存在正实根，即直线l存在．
解（*）得

λ≤ 16 3 4＜λ＜6.

所以4＜λ≤

16

3

.
即λ的取值范围是4＜λ≤

16

3

.

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的关系．考查了学生对圆锥曲线综合知识点的掌握．